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五年级奥数到课本讲义:利用分解质因数解题

五年级奥数到课本讲义:利用分解质因数解题

我们平时做题目时,是不是有时候会遇到一些与乘积有关的应用题,乍看起来很难,用一般的方法不是很好解答,但仔细思考后,你会发现题目里充满了玄妙,解起来还蛮有趣味性的(这也是奥数的魅力所在,会让人爱上数学的原因)。

这就是今天要讲的用分解质因数的方法来求解这一类的问题。一般情况下,是转化为关于整除的问题(用到化归思想),然后把数分解成质因数的连乘积,再根据条件或需要把某些质因数重新组合,得到答案所需要的因数,在组合时一定要注意考虑全面(用到分类讨论的思想),可能满足要求的解不是一个,而是多个,千万不能漏掉哪一个。

五年级奥数到课本讲义:利用分解质因数解题

 

 

那么,与这一节相关的基础知识、概念必须先掌握好。首先,简单回忆复习一下常识:什么叫质数?就是除去他自己和1不能被其他的数整除;那什么叫合数?合数与质数恰恰相反,即自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数;质因数又是什么意思呢?在一个自然数的因数中,为质数的因数叫做这个数的质因数。按此逻辑,我们把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。例如:36=2×2×3×3,45=3×3×5。这一方法或过程可以通过短除法来实现,并且可以快速求出最大公因数和最小公倍数。

五年级奥数到课本讲义:利用分解质因数解题

 

 

另外,还要记住一些特殊的情况,1既不属于质数也不属于合数;2是最小的质数,也是唯一的偶质数;最小的合数是4,也是最小的偶合数;最小的奇合数为9;所有大于2的偶数都是合数。

在这个阶段的数学学习中,所介绍的分解质因数,目的在于求出最大公约数和最小公倍数。所谓最大公约数,也称最大公因数、最大公因子,指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a,b的最大公约数记为(a,b),同样的,a,b,c的最大公约数记为(a,b,c),多个整数的最大公约数也有同样的记号。

与最大公约数相对应的概念是最小公倍数,顾名思义,两个或多个整数的公倍数里最小的那一个就叫做它们的最小公倍数。a,b的最小公倍数记为[a,b]。关于最大公约数和最小公倍数还有一个比较重要的定理(大实话:两个数的最大公约数和最小公倍数的乘积就等于这两数的乘积)需要能够理解它的意义:

(a,b)[a,b]=ab(a,b均为整数)。

很多人会认为数学没什么用处,其实不然,只是你还没有发现而已,就像这节知识,把一个数分解成质因数相乘的形式,学会了分解不是目的,重要的是可以运用到实际的解题过程里,因此,分解质因数,可以成为启发我们寻找答案、解决许多难题的突破口,不信我们一起来看一下下面的这些例题和练习。

五年级奥数到课本讲义:利用分解质因数解题

 

 

例1:有这样两个质数A和B,它们的和满足A+B=64,试求出A×B的最大值。

思维养成:这是一道基础题,把64分解成两个质数的的和,不难,一种办法是把A+B=64分解成3+61、5+59、11+53、17+47、23+41五组质数和式,求出积的最大值;

还有一种快捷的办法就是记住一句话:“如果两个数的和一定,那么这两个数越接近,它们的乘积也越大。”其实三四年级的时候,我们就有办法验证这句话的准确性了,比方说一个长方形的周长是40 厘米,面积最大的时候,长和宽(都为整数)是多少呢?是不是都可以求出来的呀!

同样的道理,那你从64的一半32+32,开始往前找满足条件的两个质数,效率是不是高很多呀?这题的结果就是

A×B的最大值=23×41=943。

练习题:

1、如果两个数的和是64,两个数的积可以整除4875,那么这两个数的差是多少?

2、有三个质数,它们的乘积是1547,这三个质数各是多少?

3、两个大于10的合数的和是31,求这两个数。

 

五年级奥数到课本讲义:利用分解质因数解题

 

 

例2:假设A、B、C为三个小于40的质数,A+B+C=62,且A<B<C,求A、B、C三数的乘积为多少?

思维养成:思考这道题目,有必要复习一下奇偶数计算的一些性质:

①奇数±奇数=偶数 ②偶数±偶数=偶数

③奇数±偶数=奇数 ④奇数±偶数=奇数

(关于奇偶数的知识会有专门时间来讲解)

题目条件告诉我们,“A+B+C=62,且A<B<C”,由①假设A是奇数,B+C的和也是奇数,因此,B、C里有一个是偶数,A、B、C是三个不同的质数,因此判定三数中有一个必定是偶质数2,另外两个数的和为62-2=60,进一步推出两数可能为13和47、17和43、19和41、23和37、29和31,最后根据三个数都小于40判定A、B、C为2、23、37或2、29、31两种组合,分别求出它们的积就行了。即:

2×23×37=1702 和 2×29×31=1798。

当然你也可以先根据②再根据①进行推断,这个过程就留给你自行推理了。另外,这题如果问的是三个数的最大乘积是多少,就只有一种结果了。

练习题:

1、A、B、C为三个小于20的质数,A+B+C=35,且C<B<A,求A、B、C。

2、边长为自然数,面积为36的形状不同的长方形共有多少种?

3、A,B,C为三个质数,A+B=24,B+C=40,且A<B<C,求这三个质数。

例3:已知一个长方形池塘的面积为315平方米,并且它的宽比长少6米,王叔叔每天早上绕池塘走十圈,走了多少米呢?

思维养成:在五年级阶段,这题用方程解可能会比较麻烦!我们试着把315分解质因数看看。315=3×3×5×7,可以看到3×5比3×7正好少6,所以,这个长方形池塘的长是3×7=21米,宽是5×3=15米,它的周长就是72米,走十圈也就是720米了。

练习题:

1、老师打算拿216元买些奖品,刚好可以买若干支同样的钢笔,如果每支钢

笔便宜1元钱,那么他就能够多买3支。你知道每支钢笔原价多少元?

2、有三个学生,他们的年龄恰好一个比另一个大2岁,而他们的年龄的乘积为2688.那么他们的年龄各是多少?

3、一个长方体相邻的三个面的面积分别是9平方厘米、21平方厘米、27平方厘米,那么这个长方体的体积是多少立方厘米?

4、有一个长方体,它的正面与上面的面积和是209,如果它的长、宽、高都是质数,那么,这个长方体的体积是多少?

 

例4:把39、45、49、56、60、70、78、84、91九个数分成三组,使每组中三个数的乘积都相等。

思维养成:做这类题目,不能单凭一腔热情、一股蛮劲去简单的分组计算,那样太累了,要开动脑筋,这也是为什么要学习奥数的原因,和乐趣所在。我们可以先把各个数字分解质因数,统计它们质因数的总个数,再按质因数的个数进行分组相乘,简化计算量。具体步骤为:

39=3×13, 45=3×3×5,

49=7×7, 56=2×2×2×7,

60=2×2×3×5, 70=2×5×7,

78=2×3×13, 84=2×2×3×7,

91=7×13。

据此统计出这九个数中共有质因数2共九个,质因数3共六个,质因数5共三个,质因数7共六个 ,质因数13共三个,因此要使每组的乘积相等,也就是三个数的乘积中都应该含有3个质因数2,两个质因数3、7,一个质因数5、13,即满足

2×2×2×3×3×5×7×7×13

根据这样的搭配,不难看出它们的分组是:

56×91×45,70×84×39和60×78×49。

练习题:

1、把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平分成两组,使每组四个数的乘积相等。

2、有三个自然数a、b、c,已知a×b=40,b×c=55,c×a=88,求a×b×c的积是多少?

3、某班有50多个同学在班主任老师带领下去种树,学生恰好能分成3组,如果老师与学生每人种树一样多,共种884棵,那么每人种树多少棵?

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